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高考数学;题解

【中图分类号】G623.5文献标识码:B文章编号:1673-8500(2013)01-0369-01

题目(2011年湖南高考数学(理)第22题)

已知函数f(x)等于x3,g(x)等于x+x.

(Ⅰ)求函数h(x)等于f(x)-g(x)的零点的个数,并说明理由;

(Ⅱ)设数列an(n∈N)满足a1等于a(a>0),f(an+1)等于g(an),证明:存在常数M,使得对于任意的 n∈N,都有an≤M.

本文给出一个简解.

解:(Ⅰ)显然h(x)有零点x等于0.下面证明h(x)恰还有一个正的零点.

令F(x)等于g(x)f(x)等于x+xx3等于1x2+1x2x,x>0.

显然F(x)是减函数,而F(1)等于2>1,F(2)等于14+142<1,

∴必然存在唯一x0∈(1,2),使得F(x0)等于1,即f(x0)等于g(x0),从而h(x0)等于0,


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因此,h(x)恰有两个零点.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当x>x0时,F(x)<1,g(x)

F(x)>1,g(x)>f(x).

注意f(x)和g(x)都是增函数,

①若a>x0,则f(a1)>g(a1),然而,由已知,f(a2)等于g(a1),

∴f(a1)>f(a2),∴a2设有x0f(an)>g(an)等于f(an+1)an>an+1,

于是由数学归纳法可知对一切正整数n(n≥2),有

an令M等于a,可知对于任意的 n∈N,都有an≤M.

②若a≤x0,则f(a2)等于g(a1)等于g(a)≤g(x0)等于f(x0)a2≤x0.若有an≤x0,

则有f(an+1)等于g(an)≤g(x0)等于f

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(x0)an+1≤x0,

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由数学归纳法可知,对一切n∈N,有an≤x0.于是,令M等于x0,恒有an≤M.

综上所述,存在常数M等于max(a,x0),使得对于任意的 n∈N,都有an≤M.

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