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前苏联学者茹科夫斯基指出:“数学里有诗画那样美的境界.”如果让每一位学生如观赏风景般地来学习数学,当然就其乐无穷,兴趣盎然.但传统的定势思维却在很大程度上禁锢了学生思维空间的拓展.让数学失去了生动性,增添了枯燥性.而注重思维多元化,提倡一题多解就可以克服此弊端,它可以有效地磨砺学生的思维,给他们自由思考的空间,在探索中提高思维的能力.下面笔者就在教学中的体会谈谈”一题多解“在数学教学中的作用.

一、一题多解有利于培养学生思维的广阔性

思维的广阔性是指思维活动发挥作用的广阔程度.教学中,通过一题多解的练习,可使学生养成以不同的角度观察、思考,用不同的方法和观点去解决同一数学问题的习惯,从而扩充思维的领域,增加思维机遇.学生不满足已有方法而寻找新方法,有利于沟通知识间的联系,培养学生思维的广阔性.

例1:求函数y等于的值域.

解析:解此题有多种思路.思路一:利用三角函数的有界性的方法.由y等于,得:sinx等于.∵|sinx|≤1,∴||≤1,解之得:≤y≤2.即所求函数的值域为:[,2].

思路二:分离变量的方法.由y等于,得:

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y等于-1+∵|sinx|≤1,∴2≤3+sinx≤4,∴≤≤3,≤-1+≤2.即所求函数的值域为:[,2].

思路三:利用导函数的方法.先证明函数y等于等于-1+在[-,]上是减函数.故:≤y≤,即:≤y≤2.∴所求函数的值域为:[,2].

点评:三种解题方法中,通过以题带面复习了“函数的定义域、值域、性质”“三角函数的有界性”等知识,加深了知识间的沟通,同时培养了学生解题的转化策略,体现了函数与方程的思想在数学中的作用.通过一题多解,既能促使学生沟通知识点间的联系,又培养了学生的思维能力,从中学到了“转化策略、数形结合、函数与方程”等基本的数学思想.同时也让学生通过对比、小结,得出自己的体会,充分发掘自身的潜能,从而提高自己的解题能力,这不仅引导学生多方法、多视角思考问题和发现问题,形成良好的思维品质,而且使学生感受到成功的喜悦和增强自信心,也极大地激发学生学习数学的积极性和浓厚的兴趣,从而在很大程度上培养了学生思维的广阔性.

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二、一题多解有利于培养学生思维的灵活性和深刻性

思维的灵活性指智力活动的灵活程度.思维灵活性的培养在解题教学中,主要表现为一题多解,即善于根据题设中的具体情况,及时提出新的设想和解题方案,不固执己见,不拘泥于陈旧的方案.而思维的深刻性是指在灵活性的基础上,深刻领会解题的实质,掌握其一般规律.

例2:若直线+等于1通过点M(cosα,sinα),则( ).

A.a2+b2≤1 B.a2+b2≥1 C.+≤1 D.+≥1

解析:本题考查“直线和圆的位置关系”“三角函数的变换”和“不等式的性质”,重在考查学生思维的灵活性与深刻性,从不同的知识入手将得到不同的解题途径.思路一:静态观点,从三角函数的角度切入.由已知,得+等于1,即asinα +bcosα等于ab,联想三角函数中的辅助角公式.有:


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sin(琢+茁)等于ab圯|sin(琢+茁)|等于||≤1圯+≥1

思路二:动态的观点,从运动变化的角度切入.点M(cosα,sinα)在圆x2+y2等于1上,直线过点M意味着直线+=1和圆x2+y2等于1有公共点,即≤1,所以+≥1.


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思路三:从平面向量角度切入.令 m等于(,),n等于(cos琢,sin琢),则m·n等于(,)·(cos琢,sin琢)等于+等于1,由向量数量积运算性质知m·n≤|m|·|n|,又|m|等于,|n|等于1,所以≥1,即+≥1.

点评:三种解法分别从四个角度切入,各有优缺点,思路一要求学生要看到点M(cosα,sinα)与三角函数的关系,并且熟练掌握辅助角公式和同角三角函数的基本关系式.思路二同样从点M(cosα,sinα)入手,把静止的点看成单位圆上的动点,从而使问题得到转化,只需考查直线与圆的位置关系即可,运算量较小,同时也突出了知识间的横向联系.思路三是在前两个思路基础上的一个升华,要求学生灵活运用所求的知识,能通过挖掘知识之间的横向联系,把握不等关系的本质,并在此基础上机动地思考问题,深化认识层次.

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